谱论

谱论
spectral theory

   泛函分析中研究算子谱的理论。算子谱的概念是有限维矩阵特征值概念的推广，例如设X为巴拿赫空间，T为X到自身的线性算子，其定义域为D（T），λ∈C，I为单位算子，如果线性算子λI－T在全空间X上有有界的递算子，则称λ为T的正则点，记ρ(T)为正则点组成的集合，称σ（T）＝C－ρ（T）为T的谱集，简称为谱。σ（T）中的点称为谱点，对谱点还可进一步分类。算子谱论的形成是由于大量实际问题在一定条件下可化归为数学上的代数方程，或微分方程，或积分方程等方程的求解问题，而这些方程的求解问题又可统一为某个线性拓扑空间X上的算子方程：(λI－T)x＝y的求解问题，特别地，若X为有限维的空间，比如n维的线性拓扑空间，则线性算子T可用一个n阶方阵来表示，上述算子方程就是一个n阶线性方程组，它的求解问题已在代数学中得到了圆满的解决。当X为无限维空间时，问题就复杂多了，从20世纪初I.弗雷德霍姆对具有连续核的积分方程得到了与有限维情况相似的结果以后，关于希尔伯特空间上算子谱论和巴拿赫空间上算子的谱理论都得到了一系列成果。